. O A ] 1 1 Ju n 19 99 Stable Ranks , K - Groups and Witt Groups of some Banach and C ∗ - Algebras ∗ C . BADEA Mathématiques , UMR 8524 au CNRS

We show that certain dense and spectral invariant subalgebras of a C *-algebra have the same bilateral Bass stable rank. This is a partial answer for (a version of) an open problem raised by R.G. Swan. Then, for certain Banach algebras, we indicate when the homotopy groups π i (GL n (A)) stabilize for large n. This is an improvement of a result due to G. Corach and A. Larotonda. Using some results due to M. Karoubi, we show the isomorphism of the Witt group of a symmetric Banach algebra with the K 0-group of its enveloping C *-algebra. The question if this is true for all involutive Banach algebras was raised by A. Connes. Résumé : On démontre que certaines sous-algèbres denses et pleines d'une C *-algèbre ont le même rang stable (de Bass) bi-latère. Ceci est une réponse partiellè a unprobì eme ouvert de R.G. Swan. Pour certaines algèbres de Banach A, les groupes d'homotopie π i (GL n (A)) sont stables pour n assez grand. est une amélioration d'un résultat de G. Corach et A. Laro-tonda. En utilisant des résultats dusà M. Karoubi, on démontre l'isomorphisme du groupe de Witt d'une algèbre de Banach symétrique avec le groupe K 0 de son C *-algèbre enveloppante. La question de savoir si cet isomorphisme a lieu pour toutes les algèbres de Banach involutivesàété soulevée par A. Connes.